❓ A. Pertanyaan Pemantik
Pikirkan dan diskusikan pertanyaan berikut sebelum memulai pembahasan:
- Mengapa lintasan bola basket yang dilempar menuju ring selalu melengkung berbentuk parabola, bukan garis lurus?
- Kapan sebuah persamaan kuadrat memiliki 2 akar berbeda, 1 akar kembar, atau tidak memiliki akar nyata sama sekali?
- Bagaimana seorang pengusaha menentukan jumlah produksi optimal agar keuntungan yang diperoleh mencapai nilai maksimum?
🎯 B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu:
- Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik (rumus abc).
- Mengidentifikasi jenis-jenis akar persamaan kuadrat menggunakan nilai diskriminan $D = b^2 - 4ac$.
- Menggambar dan menganalisis karakteristik grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$.
- Menentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan koordinat titik puncak parabola.
📊 Ilustrasi & Visualisasi Konsep
🧪 Laboratorium & Simulasi Interaktif
📖 C. Materi Pembelajaran
Persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dengan bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\) di mana \(a \neq 0\). Fungsi kuadrat menghasilkan grafik berbentuk kurva mulus simetris yang disebut parabola.
1. Metode Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
- Faktorisasi: Mengubah \(ax^2 + bx + c = 0\) menjadi \((x - p)(x - q) = 0\), sehingga \(x = p\) atau \(x = q\).
- Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Mengubah bentuk persamaan menjadi \((x + p)^2 = q\).
- Rumus Kuadratik (Rumus ABC): \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
2. Makna Nilai Diskriminan (\(D = b^2 - 4ac\))
- Jika \(D > 0\): Persamaan memiliki 2 akar real berbeda (grafik memotong sumbu-X di 2 titik).
- Jika \(D = 0\): Persamaan memiliki 1 akar kembar (grafik menyinggung sumbu-X di 1 titik).
- Jika \(D < 0\): Persamaan tidak memiliki akar real (grafik tidak menyentuh sumbu-X).
3. Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
- Jika \(a > 0\), kurva terbuka ke atas (memiliki titik balik minimum).
- Jika \(a < 0\), kurva terbuka ke bawah (memiliki titik balik maksimum).
- Persamaan Sumbu Simetri: \[ x_s = -\frac{b}{2a} \]
- Nilai Optimum (Maksimum/Minimum): \[ y_p = -\frac{D}{4a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \]
- Koordinat Titik Puncak (Titik Balik): \[ \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right) \]
💡 D. Studi Kasus Nyata
Situasi Masalah:
Sebuah roket air mainan diluncurkan ke atas dengan persamaan lintasan ketinggian h(t) = 40t - 5t² (dalam satuan meter) setelah t detik peluncuran. Tentukan waktu yang dibutuhkan roket untuk mencapai ketinggian maksimum, berapa tinggi maksimum yang dapat dicapai roket tersebut, dan kapan roket akan menyentuh tanah kembali?
Langkah 1: Mengidentifikasi koefisien fungsi:
\(h(t) = -5t^2 + 40t \implies a = -5, b = 40, c = 0\).
Langkah 2: Waktu saat mencapai tinggi maksimum (sumbu simetri):
\[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-5)} = -\frac{40}{-10} = 4\text{ detik} \]Langkah 3: Menghitung tinggi maksimum:
\[ h(4) = 40(4) - 5(4)^2 = 160 - 5(16) = 160 - 80 = 80\text{ meter} \]Langkah 4: Waktu roket menyentuh tanah (\(h(t) = 0\)):
\[ 40t - 5t^2 = 0 \implies 5t(8 - t) = 0 \]\(t = 0\) (saat peluncuran) atau \(t = 8\) detik.
Kesimpulan: Roket mencapai tinggi maksimum 80 meter pada detik ke-4, dan menyentuh tanah kembali pada detik ke-8.
✏️ E. Contoh Soal dan Pembahasan
Cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya -5. Bilangan tersebut adalah -2 dan -3.
\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \] \[ x - 2 = 0 \implies x_1 = 2 \] \[ x - 3 = 0 \implies x_2 = 3 \]Jadi, akar-akarnya adalah x₁ = 2 dan x₂ = 3.
\(a = 1, b = -6, c = 5\).
\[ x_p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3 \]Substitusikan \(x = 3\) ke fungsi:
\[ y_p = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \]Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (3, -4).
📝 F. Latihan Soal Mandiri
Kerjakan soal-soal di bawah ini pada buku latihanmu terlebih dahulu. Setelah selesai, buka pembahasan untuk memeriksa kebenaran langkahmu!
\(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49\).
\(D = 4^2 - 4(1)(7) = 16 - 28 = -12\). Karena \(D < 0\), persamaan tidak memiliki akar real.
\(x = -b / (2a) = -8 / (2 \times -2) = -8 / -4 = 2\).
\((2x - 1)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 1/2\) atau \(x_2 = 3\).