❓ A. Pertanyaan Pemantik
Pikirkan dan diskusikan pertanyaan berikut sebelum memulai pembahasan:
- Saat kamu bercermin di pagi hari, mengapa tangan kananmu tampak menjadi tangan kiri bayanganmu di cermin? Prinsip geometri apa yang bekerja?
- Bagaimana para animator film kartun dan perancang game komputer menggeser, memutar, dan memperbesar karakter di layar?
- Jika sebuah titik digeser 3 langkah ke kanan lalu 4 langkah ke atas, berapa koordinat barunya dari posisi awal?
🎯 B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu:
- Menentukan koordinat bayangan hasil Translasi (pergeseran) oleh vektor $T(a, b)$.
- Menentukan koordinat bayangan hasil Refleksi (pencerminan) terhadap sumbu X, sumbu Y, garis $y = x$, $y = -x$, dan titik asal.
- Menentukan koordinat bayangan hasil Rotasi (perputaran) pusat $(0,0)$ sebesar $\pm 90^\circ$ dan $180^\circ$.
- Menentukan koordinat bayangan hasil Dilatasi (perbesaran/pengecilan) pusat $(0,0)$ dengan faktor skala $k$.
📊 Ilustrasi & Visualisasi Konsep
🧪 Laboratorium & Simulasi Interaktif
📖 C. Materi Pembelajaran
Transformasi geometri adalah perubahan kedudukan, arah, atau ukuran suatu titik atau bangun geometri pada bidang datar. Ada empat transformasi dasar: translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu yang diwakili oleh matriks pergeseran \(T\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}\):
\[ A(x, y) \xrightarrow{T\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}} A'(x + a, y + b) \]2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi memetakan setiap titik terhadap suatu garis cermin tertentu:
- Pencerminan terhadap sumbu-X: \(A(x, y) \to A'(x, -y)\)
- Pencerminan terhadap sumbu-Y: \(A(x, y) \to A'(-x, y)\)
- Pencerminan terhadap garis \(y = x\): \(A(x, y) \to A'(y, x)\)
- Pencerminan terhadap garis \(y = -x\): \(A(x, y) \to A'(-y, -x)\)
- Pencerminan terhadap titik asal \(O(0, 0)\): \(A(x, y) \to A'(-x, -y)\)
- Pencerminan terhadap garis vertikal \(x = h\): \(A(x, y) \to A'(2h - x, y)\)
- Pencerminan terhadap garis horizontal \(y = k\): \(A(x, y) \to A'(x, 2k - y)\)
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi memutar titik sebesar sudut \(\theta\) terhadap titik pusat rotasi (sudut positif = berlawanan arah jarum jam):
- Rotasi \(+90^\circ\) pusat \(O(0,0)\): \(A(x, y) \to A'(-y, x)\)
- Rotasi \(180^\circ\) pusat \(O(0,0)\): \(A(x, y) \to A'(-x, -y)\)
- Rotasi \(270^\circ\) atau \(-90^\circ\) pusat \(O(0,0)\): \(A(x, y) \to A'(y, -x)\)
4. Dilatasi (Perkalian Skala)
Dilatasi mengubah ukuran bangun (memperbesar atau memperkecil) tanpa mengubah bentuknya. Dengan pusat \(O(0,0)\) dan faktor skala \(k\):
\[ A(x, y) \xrightarrow{[O, k]} A'(kx, ky) \]Jika \(k > 1\), bangun diperbesar. Jika \(0 < k < 1\), bangun diperkecil. Jika \(k < 0\), bangun diperbesar/diperkecil dan posisinya terbalik arah.
💡 D. Studi Kasus Nyata
Situasi Masalah:
Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat titik sudut A(2, 1), B(5, 1), dan C(2, 4). Segitiga tersebut dicerminkan terhadap sumbu-Y menghasilkan segitiga A'B'C', kemudian dilanjutkan dengan dilatasi dengan faktor skala k = 2 berpusat di titik asal O(0,0) menghasilkan segitiga A"B"C". Tentukan koordinat akhir ketiga titik sudut tersebut dan buktikan berapa kali lipat luas segitiga setelah dilatasi!
Langkah 1: Refleksi terhadap Sumbu-Y \((x, y) \to (-x, y)\):
- \(A(2, 1) \to A'(-2, 1)\)
- \(B(5, 1) \to B'(-5, 1)\)
- \(C(2, 4) \to C'(-2, 4)\)
Langkah 2: Dilatasi pusat O(0,0) faktor skala \(k = 2\) \((x', y') \to (2x', 2y')\):
- \(A'(-2, 1) \to A''(-4, 2)\)
- \(B'(-5, 1) \to B''(-10, 2)\)
- \(C'(-2, 4) \to C''(-4, 8)\)
Langkah 3: Perbandingan Luas:
Luas awal segitiga siku-siku ABC: alas = \(5 - 2 = 3\), tinggi = \(4 - 1 = 3\). Luas = \(\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4{,}5\).
Luas segitiga akhir A"B"C": alas = \(|-10 - (-4)| = 6\), tinggi = \(8 - 2 = 6\). Luas = \(\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\).
Perbandingan luas: \(18 / 4{,}5 = 4 = k^2 = 2^2\).
Kesimpulan: Koordinat akhirnya adalah A"(-4, 2), B"(-10, 2), C"(-4, 8), dan luasnya bertambah menjadi 4 kali lipat (\(k^2\)).
✏️ E. Contoh Soal dan Pembahasan
Gunakan rumus translasi: \(P'(x + a, y + b)\):
\[ P'(4 + (-3), -5 + 7) = P'(1, 2) \]Jadi, bayangan titik P adalah (1, 2).
Rumus refleksi terhadap garis \(y = x\) adalah \((x, y) \to (y, x)\):
\[ K(-3, 6) \implies K'(6, -3) \]Jadi, koordinat bayangannya adalah (6, -3).
📝 F. Latihan Soal Mandiri
Kerjakan soal-soal di bawah ini pada buku latihanmu terlebih dahulu. Setelah selesai, buka pembahasan untuk memeriksa kebenaran langkahmu!
Rumus rotasi 90° adalah \((-y, x)\). Maka bayangannya adalah \((-2, 5)\).
\(M'(3 \times 2, 3 \times -4) = M'(6, -12)\).
\(A'(2h - x, y) = A'(2(5) - 3, 7) = A'(10 - 3, 7) = A'(7, 7)\).
\(x + 2 = 8 \implies x = 6\), \(y - 1 = 3 \implies y = 4\). Jadi titik semula adalah (6, 4).