❓ A. Pertanyaan Pemantik
Pikirkan dan diskusikan pertanyaan berikut sebelum memulai pembahasan:
- Pernahkah kamu memperhatikan susunan biji pada bunga matahari atau penomoran kursi di bioskop dan gerbong kereta api?
- Jika sebuah tangga memiliki 1 anak tangga membutuhkan 3 balok, 2 anak tangga butuh 6 balok, berapa balok untuk 10 anak tangga?
- Bagaimana para matematikawan memprediksi suku ke-100 dari suatu pola tanpa harus menggambar satu per satu?
🎯 B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu:
- Mengidentifikasi dan menggeneralisasi berbagai pola bilangan (persegi, persegi panjang, segitiga, Fibonacci).
- Menentukan rumus suku ke-n ($U_n$) dari barisan konfigurasi objek.
- Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan aritmetika dan barisan geometri.
- Menghitung jumlah $n$ suku pertama ($S_n$) deret bilangan secara tepat.
📊 Ilustrasi & Visualisasi Konsep
🧪 Laboratorium & Simulasi Interaktif
📖 C. Materi Pembelajaran
Pola bilangan adalah sekumpulan bilangan yang memiliki keteraturan atau aturan tertentu dalam penyusunannya. Dengan memahami keteraturan tersebut, kita dapat menentukan bilangan pada urutan berapa pun tanpa harus mencacahnya secara manual.
1. Berbagai Pola Bilangan Khusus
- Pola Bilangan Asli: 1, 2, 3, 4, 5, ... dengan rumus \(U_n = n\).
- Pola Bilangan Genap: 2, 4, 6, 8, 10, ... dengan rumus \(U_n = 2n\). Jumlah \(n\) bilangan genap pertama adalah \(S_n = n(n + 1)\).
- Pola Bilangan Ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, ... dengan rumus \(U_n = 2n - 1\). Jumlah \(n\) bilangan ganjil pertama adalah \(S_n = n^2\).
- Pola Persegi: 1, 4, 9, 16, 25, ... dengan rumus \(U_n = n^2\).
- Pola Persegi Panjang: 2, 6, 12, 20, 30, ... dengan rumus \(U_n = n(n + 1)\).
- Pola Segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, ... dengan rumus \(U_n = \frac{1}{2}n(n + 1)\).
- Pola Bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Setiap suku setelah suku kedua diperoleh dari penjumlahan dua suku sebelumnya: \(U_n = U_{n-1} + U_{n-2}\).
2. Barisan dan Deret Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih (beda) yang tetap antara dua suku yang berurutan.
Keterangan: \(a = U_1\) (suku pertama), \(b\) (beda), \(n\) (banyak suku), \(U_n\) (suku ke-\(n\)), \(S_n\) (jumlah \(n\) suku pertama).
3. Barisan dan Deret Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan (rasio) antara dua suku yang berurutan bernilai tetap.
💡 D. Studi Kasus Nyata
Situasi Masalah:
Sebuah gedung teater bioskop memiliki susunan kursi yang membentuk barisan aritmetika. Baris terdepan memiliki 16 kursi. Baris kedua memiliki 20 kursi, baris ketiga 24 kursi, dan seterusnya bertambah tetap. Jika gedung teater tersebut memiliki 15 baris kursi, berapa banyak kapasitas total penonton yang dapat ditampung gedung teater tersebut?
Langkah 1: Identifikasi variabel:
- Suku pertama (\(a\)) = 16 kursi
- Beda antarbaris (\(b\)) = \(20 - 16 = 4\) kursi
- Banyak baris (\(n\)) = 15 baris
Langkah 2: Gunakan rumus jumlah \(n\) suku pertama deret aritmetika:
\[ S_n = \frac{n}{2}\big(2a + (n - 1)b\big) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2}\big(2(16) + (15 - 1)4\big) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2}\big(32 + (14)(4)\big) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2}(32 + 56) = \frac{15}{2}(88) = 15 \times 44 = 660 \]Kesimpulan: Kapasitas total penonton yang dapat ditampung gedung teater tersebut adalah 660 kursi.
✏️ E. Contoh Soal dan Pembahasan
Diketahui: \(a = 5\), beda \(b = 9 - 5 = 4\), dan \(n = 25\).
\[ U_n = a + (n - 1)b \] \[ U_{25} = 5 + (25 - 1)4 = 5 + (24 \times 4) = 5 + 96 = 101 \]Jadi, suku ke-25 dari barisan tersebut adalah 101.
Waktu 2 jam = 120 menit. Banyak kali pembelahan = \(120 \div 20 = 6\) kali.
Ini membentuk barisan geometri dengan \(a = 5\), rasio \(r = 2\). Jumlah amoeba setelah 6 pembelahan adalah suku ke-(6 + 1) = suku ke-7:
\[ U_7 = a \cdot r^{7-1} = 5 \times 2^6 = 5 \times 64 = 320 \]Jadi, setelah 2 jam terdapat 320 amoeba.
📝 F. Latihan Soal Mandiri
Kerjakan soal-soal di bawah ini pada buku latihanmu terlebih dahulu. Setelah selesai, buka pembahasan untuk memeriksa kebenaran langkahmu!
Menggunakan rumus \(U_n = \frac{1}{2}n(n + 1)\), maka \(U_{10} = \frac{1}{2}(10)(11) = 5 \times 11 = 55\).
Suku berikutnya adalah \(8 + 13 = 21\) dan \(13 + 21 = 34\). Jadi dua suku berikutnya adalah 21 dan 34.
\(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 20\). \(S_{20} = \frac{20}{2}(2(2) + (19)(3)) = 10(4 + 57) = 10(61) = 610\).
\(a = 3\), \(U_5 = a r^4 = 48 \implies 3r^4 = 48 \implies r^4 = 16 \implies r = 2\). Panjang tali semula \(S_5 = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = 3(32 - 1) = 3(31) = 93\) cm.