❓ A. Pertanyaan Pemantik
Pikirkan dan diskusikan pertanyaan berikut sebelum memulai pembahasan:
- Mengapa roda kendaraan berbentuk lingkaran sempurna, bukan segi delapan atau lonjong?
- Jika sebuah potongan pizza dipotong dari titik pusat dengan sudut 60°, berapa pecahan bagian pizza tersebut dari satu loyang utuh?
- Jika sudut pusat lingkaran besarnya 80°, mengapa sudut keliling yang menghadap busur yang sama selalu berukuran tepat separuhnya (40°)?
🎯 B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu:
- Mengidentifikasi unsur-unsur lingkaran (jari-jari, diameter, busur, tali busur, juring, tembereng, apotema).
- Menghitung keliling dan luas lingkaran menggunakan nilai $\pi \approx 22/7$ atau $3{,}14$.
- Menentukan hubungan proporsional antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.
- Menerapkan sifat hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur sama.
📊 Ilustrasi & Visualisasi Konsep
🧪 Laboratorium & Simulasi Interaktif
📖 C. Materi Pembelajaran
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang berjarak sama dari suatu titik tertentu yang disebut titik pusat. Jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari (\(r\)).
1. Unsur-Unsur Lingkaran
- Titik Pusat (\(O\)): Titik tengah yang menjadi acuan jarak pada lingkaran.
- Jari-jari (\(r\)): Ruas garis dari titik pusat ke tepi lengkungan lingkaran.
- Diameter (\(d\)): Ruas garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat (\(d = 2r\)).
- Busur: Garis lengkung yang merupakan bagian dari keliling lingkaran.
- Tali Busur: Ruas garis lurus yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran tanpa harus melalui titik pusat.
- Juring: Daerah bidang di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur.
- Tembereng: Daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busurnya.
- Apotema: Jarak terpendek (garis tegak lurus) dari titik pusat ke tali busur.
2. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
3. Teorema Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Sudut Pusat adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada pusat lingkaran. Sudut Keliling adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada tepi lingkaran.
- Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama: \[ \text{Besar Sudut Pusat} = 2 \times \text{Besar Sudut Keliling} \]
- Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya adalah sama besar.
- Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu berupa sudut siku-siku berukuran \(90^\circ\).
- Pada segiempat tali busur, jumlah dua sudut yang saling berhadapan selalu bernilai \(180^\circ\).
💡 D. Studi Kasus Nyata
Situasi Masalah:
Sebuah taman kota berbentuk lingkaran memiliki diameter 28 meter. Di tengah taman dibuat kolam air mancur berbentuk lingkaran dengan diameter 14 meter. Sisa lahan di luar kolam akan ditanami rumput hias dengan biaya penanaman Rp45.000 per m². Berapakah total biaya yang harus dikeluarkan pengelola taman untuk menanam rumput tersebut?
Langkah 1: Menghitung luas taman total:
Diameter taman = 28 m \(\implies\) Jari-jari (\(R\)) = 14 m.
\[ L_{\text{taman}} = \pi R^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 28 = 616\text{ m}^2 \]Langkah 2: Menghitung luas kolam air mancur:
Diameter kolam = 14 m \(\implies\) Jari-jari (\(r\)) = 7 m.
\[ L_{\text{kolam}} = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154\text{ m}^2 \]Langkah 3: Luas area rumput:
\[ L_{\text{rumput}} = 616 - 154 = 462\text{ m}^2 \]Langkah 4: Total biaya penanaman rumput:
\[ \text{Total Biaya} = 462 \times \text{Rp}45.000 = \text{Rp}20.790.000 \]Kesimpulan: Total biaya penanaman rumput hias adalah Rp20.790.000.
✏️ E. Contoh Soal dan Pembahasan
Rumus luas juring:
\[ L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 \] \[ L = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 3{,}14 \times 20 \times 20 = \frac{1}{5} \times 3{,}14 \times 400 = \frac{1}{5} \times 1.256 = 251{,}2\text{ cm}^2 \]Jadi, luas juring tersebut adalah 251,2 cm².
Berdasarkan teorema sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur sama:
\[ \angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times 38^\circ = 76^\circ \]Jadi, besar sudut pusat \(\angle AOB\) adalah 76°.
📝 F. Latihan Soal Mandiri
Kerjakan soal-soal di bawah ini pada buku latihanmu terlebih dahulu. Setelah selesai, buka pembahasan untuk memeriksa kebenaran langkahmu!
\(K = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 2 \times 22 \times 5 = 220\) cm.
Panjang busur = \(\frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = \frac{1}{4} \times 88 = 22\) cm.
Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu membentuk sudut siku-siku sebesar 90°.
Sudut berhadapan pada segiempat tali busur berjumlah 180°. Maka \(\angle C = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ\).