❓ A. Pertanyaan Pemantik
Pikirkan dan diskusikan pertanyaan berikut sebelum memulai pembahasan:
- Pernahkah kamu melihat rambu jalan tanjakan curam di pegunungan yang bertuliskan kemiringan 12%? Apa arti kemiringan tersebut dalam konsep matematika?
- Jika dua garis tidak akan pernah berpotongan meski ditarik sepanjang apa pun, hubungan apa yang terjadi di antara nilai kemiringannya?
- Bagaimana membuat persamaan matematika dari lintasan pesawat terbang yang bergerak lurus beraturan?
🎯 B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu:
- Memahami konsep gradien ($m$) sebagai tingkat kemiringan garis ($\Delta y / \Delta x$).
- Menggambar grafik persamaan garis lurus pada bidang Cartesius.
- Menentukan gradien dari persamaan garis, dua titik koordinat, garis sejajar, dan garis saling tegak lurus.
- Menyusun persamaan garis lurus melalui satu titik bergradien $m$, serta melalui dua titik koordinat.
📊 Ilustrasi & Visualisasi Konsep
🧪 Laboratorium & Simulasi Interaktif
📖 C. Materi Pembelajaran
Persamaan garis lurus (PGL) adalah persamaan matematika yang bila digambarkan pada bidang koordinat Cartesius akan membentuk lintasan garis lurus. Konsep intinya terletak pada nilai kemiringan atau gradien (\(m\)).
1. Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus
- Bentuk Eksplisit: \(y = mx + c\), di mana \(m\) adalah gradien dan \(c\) adalah konstanta titik potong garis terhadap sumbu-Y di titik \((0, c)\).
- Bentuk Implisit: \(ax + by + c = 0\), dengan gradien garisnya dapat ditentukan melalui rumus: \[ m = -\frac{a}{b} \]
2. Menghitung Gradien (\(m\))
- Melalui Dua Titik \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\): \[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
- Garis Sejajar: Dua garis yang saling sejajar memiliki gradien sama: \[ m_1 = m_2 \]
- Garis Saling Tegak Lurus: Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus bernilai \(-1\): \[ m_1 \times m_2 = -1 \iff m_2 = -\frac{1}{m_1} \]
3. Menyusun Persamaan Garis Lurus
- Melalui satu titik \((x_1, y_1)\) dengan gradien \(m\): \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
- Melalui dua titik \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\): \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]
💡 D. Studi Kasus Nyata
Situasi Masalah:
Sebuah drone penyelamat terbang mendaki dari titik koordinat A(2, 4) menuju titik B(8, 16) dalam satuan kilometer pada radar pengawas. Tentukan gradien lintasan drone tersebut, buat persamaan garis lintasannya, dan periksa apakah titik radar C(5, 10) berada tepat di jalur terbang drone tersebut!
Langkah 1: Menghitung gradien lintasan (\(m\)):
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{16 - 4}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2 \]Langkah 2: Menyusun persamaan garis melalui titik A(2, 4):
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 4 = 2(x - 2) \implies y - 4 = 2x - 4 \implies y = 2x \]Langkah 3: Menguji posisi titik C(5, 10):
Substitusikan \(x = 5\) ke persamaan \(y = 2x\):
\[ y = 2(5) = 10 \]Karena nilai \(y\) sama dengan ordinat titik C yaitu 10, maka titik C(5, 10) berada tepat di jalur lintasan drone.
✏️ E. Contoh Soal dan Pembahasan
Gunakan rumus \(y - y_1 = m(x - x_1)\):
\[ y - (-2) = 4(x - 3) \] \[ y + 2 = 4x - 12 \] \[ y = 4x - 12 - 2 \implies y = 4x - 14 \]Jadi, persamaannya adalah \(y = 4x - 14\) atau \(4x - y - 14 = 0\).
Langkah 1: Cari gradien garis pertama \(2x - 6y + 9 = 0\):
\[ m_1 = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{-6} = \frac{1}{3} \]Langkah 2: Karena tegak lurus, gradien garis kedua (\(m_2\)) adalah:
\[ m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1/3} = -3 \]Langkah 3: Susun persamaan melalui titik (2, 5):
\[ y - 5 = -3(x - 2) \implies y - 5 = -3x + 6 \implies y = -3x + 11 \]Jadi, persamaannya adalah \(3x + y - 11 = 0\).
📝 F. Latihan Soal Mandiri
Kerjakan soal-soal di bawah ini pada buku latihanmu terlebih dahulu. Setelah selesai, buka pembahasan untuk memeriksa kebenaran langkahmu!
\(m = \frac{12 - 3}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3\).
\(a = 4\), \(b = 2\). Gradien \(m = -a/b = -4/2 = -2\).
Ya, karena gradien garis pertama \(m_1 = 3\) dan gradien garis kedua \(m_2 = -6/(-2) = 3\). Karena \(m_1 = m_2\), kedua garis sejajar.
Titik potong sumbu-X (saat \(y = 0\)): \(3x = 24 \implies x = 8\), yaitu (8, 0). Titik potong sumbu-Y (saat \(x = 0\)): \(4y = 24 \implies y = 6\), yaitu (0, 6).