❓ A. Pertanyaan Pemantik
Pikirkan dan diskusikan pertanyaan berikut sebelum memulai pembahasan:
- Dua orang siswa membeli buku dan pulpen di koperasi yang sama. Siswa A membayar Rp14.000 untuk 3 buku dan 2 pulpen. Siswa B membayar Rp18.000 untuk 4 buku dan 3 pulpen. Bagaimana cara mengetahui harga 1 buku dan 1 pulpen?
- Mengapa penyelesaian SPLDV secara geometri merupakan titik potong antara dua garis lurus?
- Kapan sebuah SPLDV tidak memiliki penyelesaian sama sekali? Apa yang terjadi dengan kedua garisnya?
🎯 B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu:
- Mengidentifikasi bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
- Menyelesaikan SPLDV menggunakan metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi, dan metode campuran.
- Menganalisis jenis penyelesaian SPLDV (satu solusi, tidak ada solusi, atau tak hingga solusi).
- Menyelesaikan masalah kontekstual perekonomian dan jual beli menggunakan model SPLDV.
📊 Ilustrasi & Visualisasi Konsep
🧪 Laboratorium & Simulasi Interaktif
Masukkan koefisien untuk persamaan 1 (\(a_1 x + b_1 y = c_1\)) dan persamaan 2 (\(a_2 x + b_2 y = c_2\)):
📖 C. Materi Pembelajaran
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah pasangan dua persamaan linear yang masing-masing memuat dua variabel berpangkat satu, dan memiliki penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara simultan.
1. Metode Penyelesaian SPLDV
- Metode Substitusi: Mengisolasi salah satu variabel (misal \(y = ...\)) dari persamaan pertama, lalu menyubstitusikan bentuk aljabar tersebut ke persamaan kedua.
- Metode Eliminasi: Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan agar salah satu variabel tereliminasi (hilang).
- Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi): Mengeliminasi salah satu variabel untuk mendapatkan nilai variabel pertama, lalu menyubstitusikan nilai tersebut ke salah satu persamaan untuk mendapatkan variabel kedua. Ini merupakan metode paling efisien dan populer.
- Metode Grafik: Menggambar kedua garis lurus pada koordinat Cartesius. Koordinat titik potong kedua garis \((x, y)\) merupakan penyelesaian sistem persamaan.
2. Tiga Kemungkinan Karakteristik Penyelesaian SPLDV
| Kondisi Koefisien | Hubungan Geometris Garis | Banyaknya Penyelesaian |
|---|---|---|
| \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) | Kedua garis saling berpotongan di satu titik | Tepat 1 penyelesaian tunggal \((x, y)\) |
| \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) | Kedua garis saling sejajar | Tidak memiliki penyelesaian (Himpunan kosong) |
| \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\) | Kedua garis saling berimpit | Tak terhingga banyak penyelesaian |
💡 D. Studi Kasus Nyata
Situasi Masalah:
Di toko buah Berkah Sejahtera, Rani membeli 3 kg apel dan 2 kg jeruk dengan membayar Rp85.000. Di toko yang sama, Bayu membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk seharga Rp80.000. Jika Rian ingin membeli 1 kg apel dan 1 kg jeruk, berapakah uang yang harus dibayar Rian?
Langkah 1: Membuat model matematika:
Misalkan harga 1 kg apel = \(x\) dan harga 1 kg jeruk = \(y\).
\[ 3x + 2y = 85.000 \quad \text{...(1)} \] \[ 2x + 3y = 80.000 \quad \text{...(2)} \]Langkah 2: Eliminasi variabel \(y\):
Kalikan pers (1) dengan 3 dan pers (2) dengan 2:
\[ 9x + 6y = 255.000 \] \[ 4x + 6y = 160.000 \]Kurangkan kedua persamaan:
\[ 5x = 95.000 \implies x = 19.000 \]Langkah 3: Substitusikan \(x = 19.000\) ke pers (1):
\[ 3(19.000) + 2y = 85.000 \] \[ 57.000 + 2y = 85.000 \implies 2y = 28.000 \implies y = 14.000 \]Harga 1 kg apel = Rp19.000 dan harga 1 kg jeruk = Rp14.000.
Langkah 4: Hitung belanjaan Rian:
\[ x + y = 19.000 + 14.000 = 33.000 \]Kesimpulan: Rian harus membayar sebesar Rp33.000.
✏️ E. Contoh Soal dan Pembahasan
Gunakan eliminasi variabel \(x\). Kalikan persamaan kedua dengan 2:
\[ 2x + y = 9 \] \[ 2x + 4y = 24 \]Kurangkan:
\[ -3y = -15 \implies y = 5 \]Substitusikan \(y = 5\) ke persamaan \(x + 2y = 12\):
\[ x + 2(5) = 12 \implies x + 10 = 12 \implies x = 2 \]Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 5)}.
Misalkan kedua bilangan adalah \(a\) dan \(b\) dengan \(a > b\):
\[ a + b = 38 \] \[ a - b = 14 \]Jumlahkan kedua persamaan: \(2a = 52 \implies a = 26\).
Substitusikan: \(26 + b = 38 \implies b = 12\).
Hasil kali kedua bilangan: \(a \times b = 26 \times 12 = 312\).
📝 F. Latihan Soal Mandiri
Kerjakan soal-soal di bawah ini pada buku latihanmu terlebih dahulu. Setelah selesai, buka pembahasan untuk memeriksa kebenaran langkahmu!
Kalikan pers (2) dengan 2: \(4x + 2y = 28\). Jumlahkan dengan pers (1): \(7x = 35 \implies x = 5\).
\(2(p + l) = 40 \implies p + l = 20\). Diketahui \(p - l = 4\). Jumlahkan: \(2p = 24 \implies p = 12\) cm, maka \(l = 8\) cm. Luas = \(p \times l = 12 \times 8 = 96\text{ cm}^2\).
Jika pers (1) dikalikan 2 didapat \(4x + 6y = 12\), sedangkan pers (2) bernilai 18 (\(12 \neq 18\)). Kedua garis sejajar, sehingga HP adalah himpunan kosong { }.
\(2d + 3a = 155.000\) dan \(d + 2a = 90.000\). Kalikan pers (2) dengan 2: \(2d + 4a = 180.000\). Kurangkan: \(a = 25.000\). Maka \(d = 90.000 - 2(25.000) = \text{Rp}40.000\).