❓ A. Pertanyaan Pemantik
Pikirkan dan diskusikan pertanyaan berikut sebelum memulai pembahasan:
- Mengapa para tukang bangunan kuno di Mesir dan Indonesia selalu menggunakan tali bersimpul 3, 4, dan 5 untuk memastikan sudut pondasi rumah benar-benar siku-siku 90°?
- Jika kamu berjalan 6 meter ke timur lalu berbelok 8 meter ke utara, berapa jarak terdekatmu dari titik awal?
- Bagaimana cara membuktikan secara visual bahwa luas bujur sangkar pada sisi miring sama persis dengan gabungan luas bujur sangkar pada kedua sisi penyikunya?
🎯 B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu:
- Membuktikan kebenaran Teorema Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ secara visual dan matematis.
- Menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jika dua sisi lainnya diketahui.
- Mengenal dan membuktikan kelompok Tripel Pythagoras.
- Mengidentifikasi jenis segitiga (lancip, siku-siku, tumpul) menggunakan kebalikan Teorema Pythagoras.
- Menerapkan perbandingan sisi pada segitiga khusus bersudut $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ dan $45^\circ-45^\circ-90^\circ$.
📊 Ilustrasi & Visualisasi Konsep
🧪 Laboratorium & Simulasi Interaktif
📖 C. Materi Pembelajaran
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi penyikunya. Teorema ini hanya berlaku pada segitiga yang memiliki sudut tepat \(90^\circ\).
1. Rumus Teorema Pythagoras
Jika \(a\) dan \(b\) adalah panjang sisi-sisi penyiku, dan \(c\) adalah sisi miring (hipotenusa), maka berlaku:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \iff c = \sqrt{a^2 + b^2} \] \[ a^2 = c^2 - b^2 \iff a = \sqrt{c^2 - b^2} \] \[ b^2 = c^2 - a^2 \iff b = \sqrt{c^2 - a^2} \]2. Kebalikan Teorema Pythagoras (Uji Jenis Segitiga)
Jika diketahui tiga sisi suatu segitiga dengan \(c\) sebagai sisi terpanjang, maka jenis segitiga dapat diuji melalui hubungan:
- Jika \(c^2 = a^2 + b^2\), maka segitiga tersebut adalah Segitiga Siku-Siku.
- Jika \(c^2 < a^2 + b^2\), maka segitiga tersebut adalah Segitiga Lancip.
- Jika \(c^2 > a^2 + b^2\), maka segitiga tersebut adalah Segitiga Tumpul.
3. Tripel Pythagoras Populer
Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan Pythagoras. Kelipatan dari kelompok tripel dasar juga merupakan tripel Pythagoras:
- 3, 4, 5 (kelipatannya: 6, 8, 10 | 9, 12, 15 | 12, 16, 20 ...)
- 5, 12, 13 (kelipatannya: 10, 24, 26 ...)
- 7, 24, 25 (kelipatannya: 14, 48, 50 ...)
- 8, 15, 17 (kelipatannya: 16, 30, 34 ...)
- 9, 40, 41
4. Perbandingan Sisi Segitiga Khusus
- Segitiga Siku-Siku Sama Kaki (\(45^\circ - 45^\circ - 90^\circ\)): Perbandingan sisinya adalah \(1 : 1 : \sqrt{2}\).
- Segitiga Siku-Siku Sudut Istimewa (\(30^\circ - 60^\circ - 90^\circ\)): Perbandingan sisi di depan sudut \(30^\circ : 60^\circ : 90^\circ\) adalah \(1 : \sqrt{3} : 2\).
💡 D. Studi Kasus Nyata
Situasi Masalah:
Sebuah tiang pemancar radio setinggi 24 meter ditopang oleh kawat baja yang dipancangkan di tanah. Jika jarak dari pangkal tiang di tanah ke patok kawat pancang adalah 10 meter, berapa panjang kawat baja penopang tersebut?
Langkah 1: Sketsa dan identifikasi segitiga siku-siku:
- Tinggi tiang (\(b\)) = 24 meter
- Jarak di tanah (\(a\)) = 10 meter
- Panjang kawat baja (\(c\)) = hipotenusa
Langkah 2: Gunakan teorema Pythagoras:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] \[ c = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \text{ meter} \](Catatan: Ini merupakan kelipatan 2 dari tripel dasar 5, 12, 13)
Kesimpulan: Panjang kawat baja yang dibutuhkan adalah 26 meter.
✏️ E. Contoh Soal dan Pembahasan
Gunakan rumus \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\):
\[ c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\text{ cm} \]Jadi, panjang sisi miringnya adalah 15 cm.
Sisi terpanjang \(c = 18\). Kuadrat sisi terpanjang: \(c^2 = 18^2 = 324\).
Jumlah kuadrat kedua sisi lainnya: \(a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\).
Karena \(c^2 > a^2 + b^2\) (\(324 > 289\)), maka segitiga tersebut adalah Segitiga Tumpul.
📝 F. Latihan Soal Mandiri
Kerjakan soal-soal di bawah ini pada buku latihanmu terlebih dahulu. Setelah selesai, buka pembahasan untuk memeriksa kebenaran langkahmu!
\(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\) cm.
\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\), sedangkan \(16^2 = 256\). Karena \(225 \neq 256\), kelompok ini BUKAN tripel Pythagoras.
\(d = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\) cm.
Perbandingannya adalah \(1 : 1 : \sqrt{2}\). Jadi hipotenusanya adalah \(10\sqrt{2}\) cm.