❓ A. Pertanyaan Pemantik
Pikirkan dan diskusikan pertanyaan berikut sebelum memulai pembahasan:
- Mengapa setiap siswa di sekolah hanya memiliki satu Nomor Induk Siswa Nasional (NISN)? Apakah itu contoh fungsi?
- Jika sebuah relasi menghubungkan hobi dengan nama orang, mungkinkah satu orang memiliki lebih dari satu panah? Mengapa itu disebut relasi tetapi bukan fungsi?
- Bagaimana cara memprediksi biaya sewa taksi online jika biaya awalnya Rp10.000 dan bertambah Rp4.000 setiap kilometernya?
🎯 B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu:
- Membedakan pengertian antara relasi dan fungsi (pemetaan).
- Menyajikan relasi dan fungsi melalui diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.
- Menentukan domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan), dan range (daerah hasil).
- Menghitung nilai fungsi linear $f(x) = ax + b$ dan menyelesaikan masalah aplikatifnya.
📊 Ilustrasi & Visualisasi Konsep
🧪 Laboratorium & Simulasi Interaktif
📖 C. Materi Pembelajaran
Relasi menghubungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Fungsi (pemetaan) adalah bentuk khusus dari relasi di mana setiap anggota dari daerah asal dipasangkan dengan tepat satu anggota di daerah kawan.
1. Pengertian Relasi dan Cara Menyajikannya
Relasi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) adalah suatu aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan \(A\) dengan anggota-anggota himpunan \(B\). Terdapat 3 cara penyajian relasi:
- Diagram Panah: Menghubungkan titik anggota himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) dengan garis berarah.
- Himpunan Pasangan Berurutan: Dituliskan dalam bentuk pasangan tanda kurung \(\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ...\}\).
- Diagram Cartesius: Menggunakan sumbu horizontal (sumbu-X) sebagai anggota himpunan \(A\) dan sumbu vertikal (sumbu-Y) sebagai himpunan \(B\).
2. Konsep Fungsi (Pemetaan)
Suatu relasi dari himpunan \(A\) ke \(B\) disebut fungsi (pemetaan) jika:
- Setiap anggota himpunan \(A\) memiliki kawan di himpunan \(B\).
- Kawan dari setiap anggota himpunan \(A\) hanya ada tepat satu di himpunan \(B\).
- Domain (Daerah Asal): Himpunan \(A\).
- Kodomain (Daerah Kawan): Himpunan \(B\).
- Range (Daerah Hasil): Himpunan bagian dari kodomain yang memiliki pasangan dari domain.
- Banyaknya Pemetaan yang Mungkin: Jika \(n(A) = p\) dan \(n(B) = q\), maka banyaknya pemetaan dari \(A\) ke \(B\) adalah \(q^p\).
3. Notasi dan Nilai Fungsi Linear
Fungsi biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti \(f, g, h\). Jika fungsi \(f\) memetakan \(x\) ke \(ax + b\), maka rumusnya ditulis: \[ f(x) = ax + b \] Di mana \(f(x)\) adalah nilai fungsi atau bayangan dari \(x\) oleh fungsi \(f\).
💡 D. Studi Kasus Nyata
Situasi Masalah:
Tarif taksi reguler di suatu kota menetapkan tarif buka pintu (awal) sebesar Rp8.000 dan tarif per kilometer sebesar Rp3.500. Buatlah rumus fungsinya dan tentukan biaya yang harus dibayar seorang penumpang jika menempuh perjalanan sejauh 14 km!
Langkah 1: Menyusun model matematika rumus fungsi:
Misalkan \(x\) adalah jarak perjalanan dalam kilometer, dan \(f(x)\) adalah total tarif taksi.
\[ f(x) = 3.500x + 8.000 \]Langkah 2: Menghitung untuk \(x = 14\) km:
\[ f(14) = 3.500(14) + 8.000 \] \[ f(14) = 49.000 + 8.000 = 57.000 \]Kesimpulan: Biaya yang harus dibayar penumpang untuk perjalanan 14 km adalah Rp57.000.
✏️ E. Contoh Soal dan Pembahasan
Substitusikan \(x = a\) ke dalam rumus fungsi:
\[ f(a) = 3a - 5 \] \[ 16 = 3a - 5 \] \[ 3a = 16 + 5 = 21 \] \[ a = \frac{21}{3} = 7 \]Jadi, nilai \(a\) adalah 7.
Substitusikan nilai yang diketahui:
\[ f(2) = 2a + b = 1 \quad \text{...(persamaan 1)} \] \[ f(4) = 4a + b = 7 \quad \text{...(persamaan 2)} \]Eliminasi \(b\) dengan mengurangkan pers 2 dengan pers 1:
\[ (4a + b) - (2a + b) = 7 - 1 \implies 2a = 6 \implies a = 3 \]Substitusikan \(a = 3\) ke persamaan 1:
\[ 2(3) + b = 1 \implies 6 + b = 1 \implies b = 1 - 6 = -5 \]Jadi, rumus fungsinya adalah \(f(x) = 3x - 5\).
📝 F. Latihan Soal Mandiri
Kerjakan soal-soal di bawah ini pada buku latihanmu terlebih dahulu. Setelah selesai, buka pembahasan untuk memeriksa kebenaran langkahmu!
\(n(A) = 3\) dan \(n(B) = 2\). Banyak pemetaan dari A ke B adalah \(n(B)^{n(A)} = 2^3 = 8\) cara.
\(f(-1) = 5 - 2(-1) = 7\), \(f(0) = 5\), \(f(1) = 3\), \(f(2) = 1\). Maka range adalah {1, 3, 5, 7}.
Bukan fungsi, karena angka 1 pada daerah asal memiliki dua kawan berbeda yaitu 2 dan 5 (bercabang).
\(3p + q = 11\) dan \(-p + q = -1\). Kurangkan: \(4p = 12 \implies p = 3\). Maka \(q = 2\). Rumus \(h(x) = 3x + 2\). Untuk \(x = 5 \implies h(5) = 3(5) + 2 = 17\).